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Le Wall Shear Stress est un acteur majeur de la vasomotricité et de l'activité endothéliale (forme et production protéique). Sa mesure nécessite les estimations du Shear Rate à la paroi et de la viscosité du sang mais ces dernières rencontrent des difficultés méthodologiques. En effet, le profil de vitesse du sang duquel dérive le Shear Rate en réalité est loin d'être une parabole de Poiseuille, et, la viscosité sanguine, la plupart du temps mesurée dans des cellules rotatives de Couette comme celle d'un fluide non Newtonien, n'est pas transposable ni "scalable" dans un vaisseau du corps humain.


Le Wall Shear Stress hémodynamique dépend du "Blood Flow Pattern".


La mesure par Doppler permet d'estimer la vitesse, d'approcher la paroi de vitesse nulle, la vitesse moyenne, la vitesse maximum, le débit ou encore le profil de vitesse tout en entier et donc le "flow pattern". A partir de ces données, on peut aussi approcher des paramètres hémodynamiques : le Wall Shear Rate, le Wall Shear Stress, le débit, la vitesse maximum, la pression, et la vasomotricité.



Une découverte fondamentale grâce au Doppler


Le Flow Pattern de l'écoulement du sang a été communément apparenté à la parabole de Poiseuille jusqu'à ce que la mesure Doppler permette de voir autre chose. La technique Doppler permet de mesurer des profils de vitesse en conjonction avec la fréquence cardiaque et l'on observe un Plug Flow de proportion non négligeable systématique comme le montre la figure suivante. La loi de Poiseuille n'est pas vérifiable, si bien que la mesure de vitesse au centre n'est pas la pointe d'une parabole de Poiseuille mais plutôt la vitesse de l'écoulement bouchon correspondant à la concentration plus élevée en globules rouges. Le profil de vitesse montre que le Plug Flow est entouré d'un Sheath Flow de proportion assez importante aussi (environ 1/3) de forme parabolique. On peut aussi observer la variation de la taille du vaisseau (ligne bleue) au moment de la systole ci-dessous.



Reneman RS. What measurements are necessary for a comprehensive evaluation of the peripheral arterial circulation? Cardiovasc Dis. 1981 Sep;8(3):435-454. PMID: 15216202; PMCID: PMC287972.


Mesure du Rayon intérieur du vaisseau


On peut mesurer la taille d'un vaisseau, la plupart du temps cylindrique et régulier, de rayon R pouvant varier dans l'espace et dans le temps ainsi que la position de l'axe central du vaisseau. Le vaisseau peut être courbe ou présenter des irrégularités comme une sténose.



La vitesse en proche paroi théoriquement nulle


La vitesse du sang à la paroi, par rapport à la paroi, est nulle, théoriquement. Mais il est possible qu'à un embranchement le sang présente des tourbillons ou des courants en proche paroi.





Comparison of Blood Flow Velocity Quantification by 4D Flow MR Imaging with Ultrasound at the Carotid Bifurcation A. Harloff, T. Zech, F. Wegent, C. Strecker, C. Weiller and M. Markl American Journal of Neuroradiology July 2013, 34 (7)





Il est aussi possible que la paroi se déformant, le rayon varie, à une certaine vitesse, ce que l'on devrait pouvoir observer aussi dans la direction perpendiculaire à la paroi.


Vitesse max du Plug Flow dans un vaisseau droit


La vitesse maximum Vmax est celle du Plug Flow. Sa taille correspond à un rayon b variable dans le temps et l'espace. Dans le bouchon, les globules rouges sont compactés et avancent tous à la même vitesse, comme un seul corps. On peut identifier le plug flow à un solide en mouvement de viscosité infinie en comparaison à la viscosité du plasma.


Plug flow :


Si la vitesse est considérée comme constante dans le plug flow, alors la dérivée est nulle :



On peut modéliser le Plug Flow comme un cylindre de rayon b dans le vaisseau.


On peut mesurer simultanément R, b et V :


Le Sheath flow


Entourant le plug flow, beaucoup moins de globules rouges circulent, le plasma prédomine. Comme l'illustre le zoom (pointillés en bleu) ci-dessous, le profil de vitesse du sheath flow est similaire à une parabole. Le sheath flow n'est pas forcément purement composé de plasma, il peut y avoir un certain gradient de globules rouges.



Si le profil de vitesse est parabolique, on peut supposer que la viscosité du Sheath Flow est macroscopiquement constante et l'on doit pouvoir observer avec le Doppler, puisque le profil de vitesse est plat au centre dans le plug flow, que la parabole qui rejoint le plug flow, par continuité, a une dérivée nulle :




Analogie de la Séparation et la Sédimentation entre les globules rouges et le plasma


Si les globules rouges sont plus concentrés au centre du vaisseau, le volume de ceux-ci correspond alors au volume obtenu par sédimentation. L'hématocrite HcT se mesure ainsi.




En comparant HcT à la taille du Plug Flow mesurée par Doppler, on peut estimer la dispersion des globules rouges dans le sheath flow.


Shear stress, Shear rate, dans le Sheath Flow et à la paroi


De la paroi au centre du vaisseau, le profil de vitesse (bleu) permet de mesurer le shear rate SR ainsi qu'à la paroi WSR en r=R. Le Shear stress à la paroi, WSS, est la force de cisaillement entre la paroi et la première couche fluide de l'écoulement.



Le shear rate, dans le sheath flow, à la distance r de l'axe central, est défini comme la dérivée du profil de vitesse :


Le shear stress local, dans le sheath flow, est :




Profil de vitesse


Dans le sheath flow, nous faisons l'approximation que le plasma est peu influencé par les globules et que la relation entre la pression et le champ de vitesse dépend uniquement de la viscosité qui est supposée constante.



Conclusion


Le Doppler permet un bilan hémodynamique local grâce au profil de vitesse :


  • A la paroi : la vasomotricité, la vitesse tangentielle à la paroi, le Wall Shear Rate, le rayon R du vaisseau, la forme du vaisseau.

  • Le profil de vitesse du sang in vivo de type Plug/Sheath Flow.

  • Les tailles (variables) du vaisseau, du plug flow et, du sheath flow.

  • La dérivée de la vitesse ou le Shear Rate dans l'écoulement.

  • La dispersion des globules rouges dans l'écoulement en comparant HcT à b²/R².






Le sang est un tissu dans lequel les composants ne sont pas toujours à la même place, une suspension de cellules, de globules, dans un liquide, le plasma, mais aussi un liquide porteur, comportant des fluides, des corpuscules et des molécules complexes : un milieu polyphasique. Les cellules occupent entre 40 % et 50 % du volume cellulaire ; c’est l’hématocrite. (Hematology: Basic Principles and Practice, 6th ed. (2013). Shauna C. Anderson and Keila Poulsen)



COMMENT VOYAGENT LES COMPOSANTS DU SANG ?


D'un point de vue hémodynamique, il existe 3 "flow patterns", formes principales de l'écoulement dans l'arbre vasculaire :


  • L'écoulement théorique de Poiseuille

    • profil de vitesse parabolique qui n'est pas observé dans les écoulements de sang

    • vitesse maximum mais qui correspond à l'écoulement dit "bouchon" ou plug flow, que l'on peut mesurer par Doppler

    • vitesse moyenne par intégration du profil de vitesse

    • shear stress, qui nécessite la viscosité apparente, valable dans les vaisseaux de diamètres supérieurs à 300µm.

    • shear rate, qui dérive du profil de vitesse à la paroi

    • le rapport entre le gradient de pression et le débit, valable pour la viscosité apparente dans les vaisseaux de diamètres supérieurs à 300µm


  • L'écoulement bouchon observé par Doppler ou MRI

    • concentration de globules rouges au centre des vaisseaux

    • la couche limite pauvre en globules rouges qui peut occuper jusqu'à 2/3 du diamètre

    • vitesse du bouchon mesurable par Doppler

    • shear stress qui nécessite soit la viscosité du plasma et HcT, soit des mesures de pression

    • shear rate qui nécessite un profil de vitesse

    • la sous-couche limite plasmatique de 2µm


  • Les écoulement turbulents observés par Doppler ou MRI

    • à l'aval des valves

    • à la sortie du

    • dans les embranchements avec des dépôts

    • sténose



Quelques exemples du plug flow et du sheath flow

soit par des mesures de vitesses,

soit par des mesures de concentrations des composants

dans les vaisseaux







Dans l'antiquité, la viscosité était une propriété contrôlée pour les revêtements de surfaces à imperméabiliser comme le goudron sur la coque en bois des navires, elle se mesurait par rapport à la taille des gouttes. La viscosité renvoie à ce qui colle (gui) mais aussi à ce qui est courbe comme la perle, ou la goutte.


La viscosité est à l'origine du rotationnel dans les tourbillons de fluides.


Définition de la viscosité par Newton :



La définition mathématique représente la proportionnalité, une relation linéaire, entre la force de frottement τ  entre deux particules, et la différence de vitesses de chacune de ces particules. Le coefficient de proportionnalité est appelé "viscosité".


On peut étendre cette définition particulière à deux plans ou couches, telles des feuilles fluides qui se meuvent tangentiellement l'une sur l'autre :




D'un point de vue de la mécanique des fluides continus, entre deux plans très peu espacés, les lignes de vitesses suivent un gradient linéaire, si bien qu'il suffit de prendre les deux lignes extrêmes Vm et Vm+dV :




La formule d'Einstein traduit le mouvement brownien, le choc entre les particules parfaites, qui est à l'origine de la viscosité :





Duclaux (1940) montre que le mouvement brownien nécessite des particules parfaites (sphériques), en équipartition. (J. Duclaux. Le mouvement brownien et la formule d’Einstein. J. Phys. Radium, 1940, 1 (3), pp.81-84



La viscosité du milieu continu au sens de Couette ou de Poiseuille (Hermann Schlichting et Klaus Gernsten, Boundary Layer Theory, Springer, 1955) correspond à l'échelle qui suit le mouvement brownien : à l'échelle nanoscopique, la matière est granulaire faite d'atomes ou de petites molécules dans le mouvement brownien, mais à l'échelle micrométrique, la matière est continue, c'est-à-dire que la densité, élasticité ou la viscosité sont continues. A cette échelle, les fonctions du mouvement ou de l'énergie sont "continument" dérivables : énergie, vitesse, pression, ... Les équations de Navier-Stokes permettent de modéliser les fluides continus grâce à des relations entre les forces, la pression, les vitesses et les propriétés des fluides.




Les modèles théoriques de viscosité du sang :  L'estimation de la viscosité sanguine emploie communément la viscosité de Couette. L'estimation du shear dans un vaisseau emploie la formule parabolique de Poiseuille.



Peut-on réellement parler de viscosité du sang ?


Par définition, un fluide est une solution, la plupart du temps, homogène par conséquent en concentration, de molécules qui changent parfois de forme avec le shear rate, ce qui a pour effet de modifier la viscosité. Un fluide non Newtonien est ainsi une solution dont la viscosité change avec le shear rate.

Des expérimentations sur la viscosité du sang selon le modèle de Couette montrent que la viscosité « apparente » varie avec le shear rate ou le shear stress. Les variations de viscosité du sang sont surtout, en lien avec le plasma, dues à la migration massive des globules rouges : “his reduction in viscosity is a result of RBCs being excluded from the working portion of the bearing—that is, the gap between bearing faces” (Leslie et al, 2013).

La plupart des expérimentations sur des tubes de diamètre supérieur à 300µm montre que le sang n'a pas un profil de vitesse parabolique mais plutôt un écoulement bouchon du fait, de nouveau, de la migration massive des globules rouges au centre du vaisseau (Yeleswarapu, K. K., Kameneva, M. V., Rajagopal, K. R., & Antaki, J. F. (1998). The flow of blood in tubes: theory and experiment. Mechanics Research Communications, 25(3), 257-262.).


Le sang n'est un pas un fluide mais une suspension.



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